aerastov wrote in fiberopt_miller

Category:

Доплер. сложение скоростей

Доплер услышал, как при приближении источника звука (паровоза) высота тона звука повышалась. Заинтересовавшись этим, он пригласил друзей на вокзал, где они подтвердили эффект.
В историю (много позже) это явление вошло под названием эффект Доплера.

Механика. Статика

Неподвижный пулемет стреляет в неподвижную мишень со скоростью 3000 выстрелов в минуту или 50 выстрелов в секунду. Что то же самое — с частотой 5о Гц (Герц). 

Хлопки отдельных выстрелов при таком темпе стрельбы сливаются в один звук. Такой частоты мы слышим басовитое гудение трансформатора.

Пули летят с какой-то своей скоростью и попадают в мишень точно столько же раз в секунду, сколько раз в секунду они были выпущены пулеметом чуть раньше. Хорошее предположение, что и от мишени в это время можно будет услышать такой же звук трансформатора.

Здесь важно то, что мы не строим никаких предположений о скорости полета пуль, кроме одного — у всех пуль она одинакова на протяжении полета. И если меняется, то одинаково. Так же не интересовались и расстоянием между пулеметом с мишенью. Эти параметры дадут лишь задержку между выстрелами и попаданиями.

За одну секунду выпущена 51 пуля (включая последнюю, в конце секунды), и спустя какое-то время все они, одна за другой, в том же порядке,  с той же задержкой, извлекли из мишени свой звук.

Время стрельбы равно времени поражения мишени пулями
Время стрельбы равно времени поражения мишени пулями

Время стрельбы равно времени, в течение которого мишень находится под обстрелом.

Механика. Динамика

Теперь пулемет стреляет, удаляясь от мишени со скоростью 100 метров в секунду. Начальное, во время первого выстрела, расстояние те же 100 метров. Начальная (дульная) скорость пули относительно пулемета 300 метров в секунду, и, сделаем допущение, она не изменяется за время полета, трение о воздух не станем учитывать.

Первая пуля летит в мишень с расстояния 100 метров со скоростью (300 — 100) = 200 метров в секунду. Это правило сложения скоростей. 

Через полсекунды после выстрела она попадает в мишень.

Вторая пуля выпущена через 0.02 секунды после первой. За это время пулемет успел удалиться от мишени на (0.02 х 100) = 2 метра. Пуля попадает в мишень через (102 / 200 + 0.02) = 0.53 секунды после начала стрельбы.

Третья пуля через (104/200 + 0.04) = 0.56 секунды.

За одну секунду пулемет удалится на 100 метров. Последняя пуля поразит мишень через (200/200 + 1) = 2 секунды после начала стрельбы. Пулемет потратил 1 секунду, чтобы отъехать на 100 метров, и еще 1 секунда на то, чтобы пуле пролететь 200 метров.

Таким образом, частота попадания пуль в мишень оказывается меньше, чем частота стрельбы пулемета. За счет того, что расстояние до мишени увеличивается, и каждой следующей пуле надо преодолеть  большее расстояние, чем ее предшественнице.

Время, в течение которого мишень поражается пулями, больше времени стрельбы пулемета
Время, в течение которого мишень поражается пулями, больше времени стрельбы пулемета

Гудение трансформатора от мишени будет ниже при удаляющемся пулемете, чем при неподвижном. Величину понижения тона определяет скорость удаления пулемета, при прочих равных параметрах стрельбы.

Время, затраченное на стрельбу пулеметчиком, меньше времени, в течение которого пули поражают мишень. Пули попадают в мишень реже, чем производятся выстрелы.

И все это из-за того, что пулемет удаляется. Пулеметчик закончил работу, а пули еще летят.

Частота звука, издаваемого мишенью от попадания в нее пулеметной очереди, составляет  50 (пуль)/ (2 — 0.5) = 33.3(3) Гц

Акустика

Мы услышали, что звук, издаваемый мишенью от попадания пуль, стал ниже. Если слух у нас не настолько музыкальный, то это показали приборы.

Теперь давайте послушаем пулемет.

Возмущение воздуха от выстрела распространяется в воздухе со своей скорость, зависящей от физического состояния самого воздуха, но не от скорости пулемета.

Каждый хлопок летит к мишени со скоростью звука, пусть это будет 343.3 метра в секунду.

Первый хлопок возле мишени мы услышим через (100 / 343.3) = 0.291 секунды.

Завершающий, 51-й хлопок будет произведен через секунду и преодолеет 200 метров, как и пуля, но с другой, своей скоростью. Он достигнет нашего слуха через (200/343.3 + 1) = 1.582 секунды после начала стрельбы.

Звук пулемета мы будем слышать 1.29 секунд. Частота этого звука составит 38,76 Гц.

Пули — те же самые, но звук пулеметной очереди, покидающей пулемет, будет выше звука пулеметной очереди, поражающей мишень.

В данном случае скорость звука оказалась выше скорости пули. Сверхзвуковые скорости нас (может быть, пока) не интересуют.

Волны

Широко, так, что я надеюсь и среди моих читателей, известно гармоническое уравнение. Это там, где появляются синусы, косинусы и прочие маятники.

Некоторая физическая величина  Y может быть описана таким уравнением:

Y = cos(w*t), где w — частота, t — время

 То есть, это  обычное колебание чего-нибудь.

По оси Х здесь откладывается произведение времени на частоту
По оси Х здесь откладывается произведение времени на частоту

Если же это не просто колебание, а волна, то есть колебание с перемещением в пространстве, то это учитывается добавлением в аргумент косинуса еще одного слагаемого.

Аргумент косинуса — это Х. В случае простого колебания, без распространения нашего по планете, этот Х равен произведению частоты w колебания на время t

Х = w * t

А если нас интересует колебание с распространением, то частоту w надо умножать не только на время t, но еще и на отношение расстояния r к скорости v.

Х = w * (t — r/v)

 Это и называется волновым уравнением, потому что им описывают распространение волны.

Волновыми уравнениями в акустике описывают распространение звука, а в оптике — света (или электромагнитной волны).

Надо просто взять косинус от аргумента

Y = cos(w * (t — r/v))

Оптика

Отдельные вспышки выстрелов сольются в одну большую вспышку с не меньшим успехом, чем  отдельные хлопки в звук одного тона.

Скорость же света настолько больше скорости звука, что  превышение длительности вспышки над длительностью работы пулеметчика будет совсем не заметно.

Но мы все-таки можем использовать волновое уравнение для описания эффекта Доплера в оптике. Как, впрочем, и механическую аналогию в рамках «корпускулярной» модели света.

Однако, пожалуй, мы займемся этим интересным в следующий раз.


Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic